تُعد الميكانيك الهاملتوني إعادة صياغة للميكانيكا الكلاسيكية المتمثلة في معادلات نيوتن. إذ أن المسالة الأساسية التي بنى عليها نيوتن معادلات الميكانيك هي إيجاد مسار جسم أو جسيم نعرف موضعه وسرعته الابتدائيان وتؤثر عليه مجموعة قوى معروفة. يتم ذلك عن طريق حل مجموعة من المعادلات التفاضلية من المرتبة الثانية والتي تُختَصر بالعلاقة: F=ma.
تعاني هذه المعادلة من عدة مشاكل، لشرحها تخيل مكعبًا صلبًا يتحرك بحرية في الفضاء، مكون من عدد (N) من الجسميات، لوصف حركته باستخدام ميكانيكا نيوتن، يجب عليك أن تحل المعادلة لـِ (N) جسيمات، بشرط بقاء المسافة بين هذه الجسيمات ثابتة. وسنحتاج لـِ (N) سرعات ابتدائية و(N) موضع ابتدائية. ولكن، إذا فكرنا جيدًا سنجد أننا لا نحتاج سوى لستة متغيرات فقط؛ ثلاثة لوصف موضع مركز كتلة المكعب، وثلاثة لوصف جهة تحركه. ولكن، إذا حاولنا حل معادلة نيوتن باستخدام هذه المتغيرات الستة فقط فلن نصل لنتيجة، وهنا يأتي دور الميكانيك الهاملتوني.
لنتخيل جسيمًا يتحرك بحرية ويمتلك زخمًا معينًا، يتمحور الميكانيك الهاملتوني حول تابع يدعى التابع الهاملتوني ونرمز له بـِ (H). في الأنظمة البسيطة يساوي التابع الهاملتوني الطاقة الكلية للنظام، معبرًا عنها بدلالة الزخم والموضع.
H(x,p)=p^2/2m+V(x)
الجزء الآخر من الميكانيك الهاملتوني هو معادلات هاملتون للحركة، وهي معادلات تفاضلية من الدرجة الثانية:
dx/dt=∂H/∂p
dp/dt=−∂H/∂x
قد تستنتج أن هذه المعادلات تكافؤ معادلة نيوتن إذا عوضنا التابع بمجموعة المعادلات، ولكن ما يميز الميكانيك الهاملتوني هو أن نظام الإحداثيات والزخم غير هامين هنا. يمكننا من حيث المبدأ اختيار أي متغير للموضع وتحديد الزخم بطريقة ملائمة (أي أننا نعمم الزخم (p) والموضع (q)).
توجد الكثير من الرياضيات المعقدة التي تجعل من الميكانيكا الهاملتوني مفيدةً، وتشكل الميكانيك الهاملتوني مدخلًا لميكانيكا الكم من خلال تعريفها لفضاء الطور، بواسطة النقاط بواسطة الإحداثيتان (p) و(q)، يمكن تحويل هذا الفضاء إلى (فضاء هلبرت – Hilbert space) وهو فضاء لجميع الحالات الكمومية.
اقرأ أيضًا:
الرياضيات في دقيقة، أرقامٌ معقّدة
كيف يمكن للرياضيات أن تجعلك مليونيرًا؟ تعرف على جائزة الألفية
ترجمة: مهران يوسف
تدقيق: رزوق النجار
