لنفترض أنك مدير فندق، وفندقك مكتمل على آخره، هذا شيء عظيم! لكن دائمًا ما بتلكَ الرغبة في ضغط النزلاء بالفندق للعثور على أماكن إضافية، وأموال إضافية، هذا قد يخفض من تقييمات نزلائك في الحياة الواقعية، لكن في عالم الرياضيات لا توجد مشكلة ما دام يحتوي الفندق على عدد لا نهائي من الغرف!

تعودُ الفكرة إلى عالِم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرتDavid Hilbert) )، فقد قامَ هيلبرت باستخدام مثال الفندق لتوضيح الأفكار الممكنَة للتلاعب باللانهاية.

والآن لنفرض وجود فندق يحتوي على عدد لا نهائي من الغرف، مُرقّمة كالتالي: 1.. 2.. 3.. الخ. كلّ الغرَف مشغولة بالنزلاء، وأتى ضيف جديد للفندق طالبًا الإقامة بالفندق، ماذا ستفعل؟ الأمر سهل، سوف تطلب من نزيل غرفة 1 أن ينقل أمتعته إلى غرفة 2، وتقوم بنقل نزيل غرفة 2 إلى غرفة 3، وهكذا.

ولن تحدث أي مشكلة إلا إذا كان الفندق يحتوي على عدد محدود من الغرف؛ حيث لن يجد نزيل الغرفة الأخيرة غرفةً لينتقل إليها، وبما أن عدد الغرف لا نهائي، سيجد كل نزيل مسكنًا آخر لينتقل إليه بسهولة.

ستحتاج إلى أن تقوم بعملية نقل النزلاء كلهم معًا في وقت واحد حتى تستثمر الوقت، حيث سيستغرق الأمر وقتًا لا نهائيًا لنقلهم واحدًا تلو الآخر.

يمكنك التوفيق بين أي عدد من النزلاء الجدد باستخدام تلك الخدعة البارعة، فلو أتى عدد (n) من النزلاء الجدد، فسوف تطلب من كل نزيل بالفندق أن ينتقل إلى الغرفة المُرقمة بمجموع الرقمين: (n) + (رقم الغرفه الأصلية)، فمثلا لو أتى 8 ضيوف جدد إلى الفندق فسوف ينتقل النزيل المقيم بغرفة رقم 10 إلى غرفة رقم 10+8 = 18.

ويزداد اللغز حلاوةً كلّما ازدادت المشكلة تعقيدًا.

لنفرض أنّ هناك عدد لا نهائي من النزلاء الجدد يقفون أمام الفندق طامحينَ في غرفة تحتويهم، ففي هذه الحالة، سوف تطلب من كل نزيل حالي أن ينتقل إلى الغرفة التي يمثل رقمها ضعف رقم غرفتهِ الحالية، فإذا كان يقيم في غرفة (x) فيجب عليه الانتقال إلى غرفة (2x).

ومن خلال تلك المناورة ستجد أن الغرف الممتلئة هي الغرف ذات الأرقام الزوجية فقط:1*2=2 , 2*2=4 3*2=6, وهكذا، فيمكنك وضع نزلاءك الجدد بالغرف الفردية الفارغة بكلّ سلاسة.

الطبقات اللانهائية

ليس هذا فحسب، فرضًا أنّ هناك عدد لا نهائي من السيارات المحمّلة بعدد لا نهائي من النزلاء وصل إلى الفندق، لتبسيط الفكرة، نفترض أن السيارات مُرقّمة كالتالي: 1.. 2.. 3.. الخ، وكذلك النزلاء في كل سيارة، سوف تبدأ أولًا باتباع الاستراتيجية السابقة في إخلاء الغرف ذات الأعداد الفردية، والآن سوف تطلب من النزيل رقم 1 بداخل السيارة رقم 1 أن يحمل أمتعته متوجهًا إلى الغرفة رقم 3، بينما ينتقل النزيل رقم 2 في نفس السيارة إلى الغرفة رقم3^2=9 ، وينتقل النزيل الثالث إلى غرفة 3^3=27 وهكذا، تكمُن الفكرة في أن يسكن النزيل رقم (n) والذي يتواجد في السيارة رقم 1 إلى الغرفة 3^n، وبما أن كل مضاعفات العدد 3 فردية، فبالتالي نضمن أن كل تلك الغرف ستكون فارغة، ولكن ماذا عن النزلاء داخل السيارة الثانية؟

S

بنفس الاستراتيجية تقريبًا سوف تنقل النزيل رقم 1 في السيارة الثانية ينتقل إلى غرفة رقم 5، وينتقل النزيل رقم 2 في نفس السيارة إلى غرفة رقم 5^2=25، وبالطبع سينتقل النزيل الثالث إلى غرفة رقم 5^3=125 وهكذا، فنستنتج أن المعادلة هي أن النزيل رقم (n) يمكث في غرفة رقم 5^n.

ولكن هل ستصمد تلك الطريقة أمام السيارة الثالثة؟ دعنا نجرب لنرى، بما أن العددان 3 و 5 هما عددان أوليّان، فدعنا ننتقل إلى العدد الأوليّ التالي وهو 7، نوجّه النزيل رقم (n) في السيارة الثالثة إلى الغرفة 7^n، وبما أنّ كل مضاعفات العدد 7 هي أعداد فردية، فلن نواجه أي مشكلة، لكن كيف نصيغ تلك الاستراتيجية في صورة معادلة رياضية؟ حسنًا، تكون المعادلة على الصورة الآتية:
إذا كان عدد السيارات يساوي (m) ورقم النزيل في السيارة يساوي (n) فسوف ينزل في غرفة رقم ((P^n حيث (P) هو العدد الأوليّ الذي يكون ترتيبه بين الأعداد الأولية تصاعديًا: (m+1 ).

يمكنك تطبيق تلك المعادلة على المثالين السابقين للحصول على صورة ذهنيّة أوضح.

بعد أن رأينا تطبيق المعادلة، السؤال هو: هل تضمن أن تكون كل الغرف المطلوبة فارغة؟ بصيغة أخرى: هل تكون أرقام كل تلك الغرف فردية دائما بنسبة 100%؟ والإجابة هي نعم.

كل تلك الغرف ما هي إلا مضاعفات لأعداد أولية، وإذا ألقيت نظرة على المبرهنة الأساسية في الحسابيات (fundamental theorem of arithmetic) سوف تجد أنها تنصّ على أن كل الأعداد الصحيحة يمكن كتابتها على صورة حاصل ضرب أعداد أولية بصورة فريدة من نوعها.
هذا يعني أنه إذا كانت الغرفة رقم (X) عبارة عن صورة أسّية لعدد أولي، فلا يمكن أن تكون صورة أسيّة لأي عدد أوليّ آخر، كمثال، نعلم مسبقًا أنّ النزيل رقم 5 من السيارة رقم 1 يشغل الغرفة رقم 3^5=243، والآن، فرضًا بأن هناك خلل في المعادلة وأن الغرفة يسكن بها نزيل آخر، ولنفترض النزيل رقم 3 من سيارة رقم 2، فيجب أن يكون العدد (X) أسًّا لعدد أوليّ آخر، في تلك الحالة: X= 5^3، ووفقًا للمبرهنة الأساسية فإن هذا مستحيل، (وبالطبع هو مستحيل لأن 5^3=125 ).

والآن، دعنا نزيد الأمر تعقيدًا.

نفترض أن هناك عدد لا نهائي من السفن المحملة بعدد لا نهائي من السيارات، كل سيارة تحتوي على عدد لا نهائي من النزلاء.

يأتي كل ضيف حاملًا معه ثلاثة أرقام: رقم السفينة التي جاء عليها، رقم السيارة التي جاء بها، ورقم مقعده في السيارة.

ابدأ أولًا بإخلاء الغرف ذات الأرقام الفردية كما فعلنا سابقًا، لنفرض أن النزيل أتى من السفينة (s) بداخل السيارة (m) في المقعد (n)، سوف نستخدم نفس الأسلوب المُستخدم سابقًا: أوجد العدد الأوليّ صاحب الترتيب (m+1) ولنرمز له بالرمز (p) ثم أرفعه إلى أسّ برقم المقعد، فتكون الصيغة (p^n)، الخطوة التالية هي العثور على العدد الأولي صاحب الترتيب (s+1) ونرمز له بالرمز (q)، ثم ارفعها إلى أسّ العدد السابق فيكون الناتج: (q^(p^n )).

كمثال، إذا وصل نزيل على السفينة 1 بداخل السيارة 1 في المقعد 2، إذن فيجب أن ينتقل إلى غرفة رقم ( =19683 〖 3〗^9 = 3^(3^2 ))، لاحظ أن الأرقام تتضخم بصورة سريعة جدًا، فمثلًا إذا أتى نزيل مستقلّ للسفينة 2 بداخل السيارة 3 في المقعد 4 فيجب أن ينتقل إلى الغرفة رقم 5^(7^4 )، ولكن إذا حاولت أن تقوم بحساب قيمة هذا الرقم على الآلة الحاسبة فلن تستطيع الحاسبة أن تقوم بمثل هذه العملية الحسابية لكبر حجم الناتج، لكن نظريًا يمكن للفندق أن يستوعب أي عدد كان من النزلاء.

(يمكنك النظر إلى الإثبات وفقًا للمبرهنة الأساسية في الحسابات في الصورة التالية).

حتى الآن تمكنّا من استيعاب الضيوف الذين يصلون إلى ثلاث طبقات من اللانهاية: عدد من السفن اللانهائي، يحمل كل منها عددًا لا نهائيًا من السيارات، تحمل كل سيارة منهم عددا لا نهائيًا من الضيوف.

أيمكن أن نذهب إلى ما هو أكثر من ذلك؟ الجواب هو نعم، يمكنك أن تستوعب الضيوف الذين يصلون في أي عدد محدود من الطبقات اللانهائية، ولكن ما لا يمكنك القيام به هو استيعاب الضيوف الذين يصلون إلى الفندق في طبقات لا نهائية من اللانهاية، ولكن لا تقلق، فإن هذا لن يحدث على أي حال.

  • ترجمة: علي كريمة
  • تدقيق: لؤي حاج يوسف
  • تحرير : رغدة عاصي
  • المصدر