برهان جديد يحل مشكلة تقريب الأعداد غير النسبية

أثبت رياضيون مسألة عمرها 80 عامًا تقريبًا تعرف باسم حدسية Duffin-Schaeffer. هذا يعطينا إجابة نهائية لأحد الأسئلة التي شغلت علماء الرياضيات منذ العصور القديمة: ما هي الظروف التي يمكن تحتها تقريب الأعداد غير النسبية Irrational numbers التي تستمر إلى الأبد –مثل العدد باي- بكسور بسيطة، مثل 22/7؟ يبين البرهان أن إجابة هذا السؤال تتوقف على نتيجة حساب واحد.

وقال جيمس ماينارد من جامعة أكسفورد، وهو مؤلف مشارك للبرهان مع ديميتريس كوكولوبولوس من جامعة مونتريال: «هناك معيار بسيط لمعرفة ما إذا كان يمكنك تقريب كل الأرقام تقريبًا أو لا يمكنك تقريب أي رقم».

لطالما اعتقد علماء الرياضيات أن هذا المعيار البسيط هو المفتاح لفهم متى تتوفر تقريبات جيدة، لكنهم لم يتمكنوا من إثبات ذلك. ولكن، تمكن كوكولوبولس وماينارد من إثبات ذلك بعد إعادة تخيلهما لهذه المسألة حول الأرقام على أنها مسألة تتعلق بالاتصالات بين النقاط والخطوط في رسم بياني.

وقال جيفري فالر من جامعة تكساس في أوستن، الذي ساهم في نتائج سابقة مهمة: «لقد كان لديهما قدر كبير من الثقة بالنفس، ليسلكا هذا الطريق، لقد أنتجا قطعة فنية حقيقية!».

الأعداد النسبية تشمل جميع الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل كسور.

لكن الأعداد النسبية نادرة بالمقارنة بباقي الأرقام إذ إن الغالبية العظمى من الأرقام غير نسبية، لا يمكن كتابتها كسورًا وتستمر إلى ما لا نهاية بعد الفاصلة. هناك عدد قليل من الأعداد المهمة التي حصلت على أسماء خاصة بها مثل pi و e و 2√. أما البقية فلا يمكن عدها.

لذا من الطبيعي أن نتساءل: إذا لم نتمكن من التعبير عن الأعداد غير النسبية بالضبط، فإلى أي مدى يمكننا تقريبها باستخدام أرقام نسبية؟ على سبيل المثال، أدرك علماء الرياضيات القديمون أن نسبة محيط الدائرة إلى قطرها يمكن تقريبها جيدًا بواسطة الكسر 22/7. اكتشف علماء الرياضيات في وقت لاحق تقريبًا أفضل وهو 335/113.

في عام 1837، وجد عالم الرياضيات غوستاف ليجون ديريشليت قاعدة لكيفية تقريب الأرقام غير النسبية بأرقام نسبية على شكل كسور. أثبت ديريتشيت وجود علاقة مباشرة بين الكسور والأعداد غير النسبية التي تقربها والأخطاء التي تفصلها.

أثبت ديريشليت وجود عدد لا نهائي من الكسور التي تقرب كل عدد غير نسبي. وأن الخطأ في التقريب لا يزيد عن 1 مقسومًا على مربع مقام الكسر المستعمل للتقريب. إذن الكسر 22/7، على سبيل المثال، يقرب pi في حدود واحد تقسيم سبعة للتربيع، أو 1/49. أما الكسر 355/113 على فيقربه بحدود واحد تقسيم 112769. أثبت ديريشليت أن هناك عددًا لا نهائيًا من الكسور التي تقترب أكثر فأكثر من pi مع زيادة مقام الكسر.

يعد إثبات ديريشليت خطوة أولى في دراسة تقريب الأعداد الغير نسبية، إذ يقول إنه بالإمكان دائمًا تقريب أي عدد غير نسبي بعدد لا نهائي من الكسور.

ولكن ماذا إذا أردنا أن نفرض شرطًا ما على التقريب كأن يكون المقام عددًا أوليًا حصرًا أو أن يكون جذره عددًا طبيعيًا أو أردنا أن يكون الخطأ مساويًا ل 1/10000 أو أي رقم آخر. هل يظل بإمكاننا تقريب أي عدد غير نسبي بكسر نسبي؟ تحاول حدسية دوفين- سكايفر الإجابة على هذا السؤال.

تخيل أن لديك عددًا لا نهائيًا من المقامات، قد تمثل هذه المقامات كل الأعداد الأولية أو كل الأعداد الفردية أو كل مضاعفات العدد 10 أو …. .

الآن لكل رقم من هذه الأرقام اختر مجال التقريب الذي تريد أن تقرب به عددًا غير نسبي ما (من غير الضروري أن تقرب كل الأعداد نفس العدد غير النسبي ولكن الشرط أن يكون تقريبها لعدد نسبي ما ضمن حدود الخطأ الذي حددناه).

السؤال هو: هل يمكننا إيجاد عدد لا نهائي من الكسور التي تقرب كل الأعداد غير النسبية تحت هذه الشروط؟ تعطينا الحدسية تابعًا رياضيًا يمكننا من خلاله معرفة الجواب. يأخذ التابع الشروط ويعطي أحد مخرجين. حسب هذين المخرجين يمكننا معرفة إذا ما كان بإمكاننا تقريب كل الأعداد غير النسبية تقريبًا أو لا يمكننا تقريب أي منها تقريبًا.

إما أن نقرب كل الأعداد تقريبًا أو لا نقرب أيًا منها تقريبًا ونقول تقريبًا لأنه دائمًا سيكون هناك عدد مهمل من الأعداد غير النسبية المقربة أو غير المقربة بشكل جيد.

لفهم المسألة بشكل أفضل، لنتخيلْ هذه المسألة المبسطة. تخيل أنك تريد تقريب الأعداد غير النسبية الموجودة بين الصفر والواحد. وأن المقامات المسموحة لك هي الأعداد الطبيعية من 1 إلى 10. ستكون لديك سلسلة من الأرقام هي 1/1 و 1/2 و2/2 و 1/3 و 2/3 و …… حتى 9/10 و 10/10.

ولكن ليست كل هذه الكسور مفيدة. مثلًا كل الكسور 1/2 و 2/4 و 3/6 تساوي نصف.

لذا أضاف دوفين وسكايفر معاملًا في تابعهما لتحديد عدد الكسور غير المتساوية التي نحصل عليها من كل مقام يسمى معاملَ أويلر فاي. مثلًا، معامل فاي أويلر لل 10 هو 4. الكسور المختلفة التي يمكن أن يشكلها 1/10 و 3/10 و 7/10 و 9/10.

الخطوة التالية هي معرفة عدد الأرقام غير النسبية التي يمكنك تقريبها بكل من هذه الكسور. يعتمد هذا على مقدار الخطأ الذي نستطيع قبوله. باستخدام تابع الحدسية يمكننا اختيار خطأ لكل من المقامات. لذلك بالنسبة للكسور ذات المقام 10 مثلًا، يمكنك ضبط الخطأ المسموح به على 0.02. مع المقام 7، قد تتوقع المزيد وتعينه على 0.01.

بمجرد تحديد المقامات وتحديد شروط الخطأ الخاصة بك، يكون قد حان الوقت للبحث عن الاعداد غير النسبية. حدد الكسور على خط الأعداد بين 0 و 1 ويكون الخطأ ممثلًا بمجالات ممتدة من جانبي كل كسر. يمكنك القول إن جميع الأعداد غير النسبية المحتواة في هذه المجالات قد «قُربت جيدًا» بالنظر إلى الشروط التي حددتها. السؤال هو: كم عدد الأرقام غير النسبية التي قربناها؟

يوجد عدد غير محدود من الأرقام غير النسبية الموجودة في الفواصل بين الكسور على سطر الأرقام، لذلك لا يمكن التعبير عن عددها برقم محدد. بدلًا من ذلك، يسأل علماء الرياضيات عن نسبة إجمالي الأرقام غير النسبية التي قربناها من العدد الكلي للأرقام.

تقول حدسية دوفين – سكايفر إنه إذا جمعنا كل الأعداد غير النسبية المقربة وكان المجموع يسعى إلى لا نهاية سنكون قد قربنا تقريبًا كل الأعداد غير النسبية بينما إذا كان يسعى لرقم معين إذن لن نكون قربنا أي عدد غير نسبي تقريبًا.

أثبت رياضيون أن الحدسية صحيحة بالنسبة لتسلسل التقريب المكون من جميع الأعداد الأولية. لكن بالنسبة للكثير من متواليات التقريب الأخرى، لم يتمكن علماء الرياضيات من حل الحدسية بشكل نهائي لمدة 80 عامًا. هذا لأنه من الصعب معرفة حجم التداخل بين مجالات التقريب حول كل من الكسور.

ينعكس مدى التداخل بين مجالات كسرين على عدد العوامل الأولية المشتركة بين مقامي الكسرين. مثلًا ففي العددين 12 و 35. العوامل الأولية لل 12 هي 2 و 3. العوامل الأولية لل 35 هي 5 و 7. بعبارة أخرى، لا توجد عوامل مشتركة بين 12 و 35 – ونتيجة لذلك، لا يوجد تداخل مجالي كبير لتقريبهما.

ولكن ماذا عن 12 و 20؟ العوامل الأولية لـ 20 هي 2 و 5، والتي تتداخل مع العوامل الأولية لـ 12. وبالمثل، فإن الأرقام غير النسبية التي يمكن تقريبها بكسور مقامها 20 تتداخل مع تلك التي يمكن تقريبها بواسطة كسور مقامها 12.

كان مفتاح حل الحدسية هو إيجاد طريقة لتحديد التداخل بدقة في مجموعات الأرقام غير النسبية التي تقربها قواسم بينها عدد من العوامل الأولية الصغيرة المشتركة. لمدة 80 عامًا لم يتمكن أحد مم فعل ذلك. وصل كوكولوبولس وماينارد إلى الحل من خلال إيجاد طريقة مختلفة تمامًا للنظر إلى المسألة.

في برهانهما أنشأ الرياضيان رسمًا بيانيًا من قواسمهما بأن تمثل القواسم في نقاط والخطوط تمثل تشارك العددين بالكثير من العوامل الأولية. هيكل هذا الرسم يعبر عن التداخل بين الأعداد غير النسبية بين كل من المقامين. وبينما يصعب تقييم هذا التداخل مباشرة، وجد كوكولوبولوس وماينارد طريقة لتحليل بنية الغراف باستخدام تقنيات من نظرية المخططات Graph Theory وتوصلا للمعلومات التي يريدونها. وهكذا أثبتا أن الحدسية صحيحة.