الميكانيك الهاملتوني هو إعادة صياغة للميكانيك الكلاسيكي قام بها العالم ويليام هاملتون عام 1833 بدءًا من الميكانيك اللاجرانجي. كما هو حال الميكانيك اللاجرانجي فإن الميكانيك الهاملتوني لا يشكل اكتشافًا فيزيائيًا جديدًا وإنما هو صياغة رياضية جديدة مفيدة في حل بعض المسائل التي يصعب حلها باستخدام ميكانيك نيوتن التقليدي.
المسألة الأساسية التي بنى عليها نيوتن ميكانيكه هي إيجاد مسار جسم أو جسيم نعرف موضعه وسرعته الابتدائيين وتؤثر عليه مجموعة قوى معروفة. يتم ذلك عن طريق حل مجموعة من المعادلات التفاضلية من المرتبة الثانية التي تختصر بالعلاقة:
F=ma
حيث a التسارع هو المشتق الثاني لتابع المسافة.
تعاني هذه المعادلة من عدة مشاكل. لشرحها، تخيل مكعبًا صلبًا يتحرك بحرية في الفضاء مكون من عدد N من الجسيمات. لوصف حركته باستخدام ميكانيك نيوتن، يجب عليك أن تحل المعادلة من أجل N جسيم، بشرط أن تبقى المسافة بين هذه الجسيمات ثابتة. كما سنحتاج لـ N سرعة ابتدائية وN موضع ابتدائي.
ولكن، إذا فكرنا جيدًا سنجد أننا لا نحتاج سوى لستة متغيرات فقط. ثلاثة لوصف موضع مركز كتلة المكعب، وثلاثة لوصف جهة تحركه. ولكن، إذا حاولنا حل معادلة نيوتن باستخدام هذه المتغيرات الستة فقط فلن نصل لنتيجة. وهنا يأتي دور الميكانيك الهاملتوني.
لنتخيل جسيمًا يتحرك بحرية وله زخم معين. يتمحور الميكانيك الهاملتوني حول تابع يدعى التابع الهاملتوني نرمز له بـ H. في الأنظمة البسيطة يساوي التابع الهاملتوني الطاقة الكلية للنظام معبرًا عنها بدلالة الزخم والموضع.
H(x،p)=p^2/2m+V(x)
إذ p هو الزخم ويساوي حاصل جداء الكتلة في السرعة mv.
الجزء الآخر من الميكانيك الهاملتوني هو معادلات هاملتون للحركة، وهي معادلات تفاضلية:
dx/dt=∂H/∂p
dp/dt=−∂H/∂x
قد تستنتج أن هذه المعادلات مساوية لمعادلة نيوتن إذا عوضنا التابع بمجموعة المعادلات. ولكن، ما يميز الميكانيك الهاملتوني هو أن نظام الإحداثيات المختار والزخم غير مهمين هنا.
يتم ذلك من خلال تمثيل كل حالة من حالات النظام بنقطة في فضاء ندعوه بفضاء الطور. مثلًا، إذا كان زخم الجسم يساوي 3 وتابع مسافته يساوي 2 فإن هذا يتوافق مع النقطة ذات الإحداثيات (2،3) في فضاء الطور.
يمكّننا هذا من اختيار أي نقطة (q،p) نريدها لتكون مركز الإحداثيات (والذي هو جملة المرجع التي سنقيس بالنسبة له باقي النقاط). هكذا نكون قد عممنا كلًا من الزخم والموضع.
إن معادلات هاملتون للحركة والتي رأيناها سابقًا تعرف عند كل نقطة من نقاط حقل الطور شعاعًا (متجهًا) يخبرنا ما هي الحالة التالية التي سيأخذها النظام بدءًا من هذه النقطة وبالتالي يمكننا من خلال معرفة هذه المتجهات استنتاج مسار الجسم الذي ندرسه.
هناك الكثير من الرياضيات المعقدة التي تجعل من الميكانيك الهاملتوني مفيدًا. كما أن الميكانيك الهاملتوني يشكل مدخلًا لميكانيكا الكم من خلال تعريفه لفضاء افتراضي تعرف فيه النقاط بواسطة الإحداثيين p و q. فضاء الطور هذا يمكن تحويله لفضاء هلبرت الذي تُعرّف فيه جميع الحالات الكمومية لنظام في ميكانيك الكم.
اقرأ أيضًا:
الرياضيات في دقيقة، أرقامٌ معقّدة
كيف يمكن للرياضيات أن تجعلك مليونيرًا؟ تعرف على جائزة الألفية
إعداد: مهران يوسف
تدقيق: جعفر الجزيري
