هذا المنشور هو جزء من الكتاب الإلكتروني: محاكاة أنظمة الاتّصالات الرقميّة باستخدام (مختبر المصفوفات – Matlab) – متوفّر بامتداد (بي دي إف – PDF وإي پي يو بي EPUB).
يركّز فصل مخصّص لنظريّة شانون في الكتاب الإلكتروني على مفهوم سِعة القناة.
أولًا يناقش مفهوم سِعة القناة ثمّ معالجة متعّمقة لسِعة شانون لمختلف القنوات.
نظريّة شانون
ما مقدار البيانات التي ستحملها القناة أو الوسيط في ثانية واحدة أو ما هو معدّل البيانات الذي تدعمه القناة؟ دعونا نكتشف الإجابة عن هذا السؤال بالتفصيل.
لن تكتمل أيّ مناقشة لتصميم نظام الاتّصالات من دون الإشارة إلى نظريّة شانون.
وتخبرنا نظريّة شانون للمعلومات عن مقدار المعلومات التي يمكن للقناة حملها أو بعبارة أخرى تحدّد سِعة القناة.
ويمكن ذكر النظريّة بعبارات بسيطة على النحو التالي:
- يكون لدى أي نظام اتّصالات حدّ أقصى لمعدل المعلومات C ويعرف بسِعة القناة.
- إذا كان معدّل نقل المعلومات R أقلّ من C، فإنّ نقل البيانات في حالة وجود ضجيج يمكن أن يحدث على نحوٍ اعتباطي مع احتمالات خطأ صغيرة باستعمال تقنيات التشفير الذّكيّة.
- يتعيّن على المشفِّر العمل على كتل أطول من بيانات الإشارة للحصول على احتمالات خطأ منخفضة. وهذا يستلزم تأخيرات زمنيّة أطول ومتطلبات حسابيّة أعلى.
تشير (نظرية شانون – هارتليShanon-Hartley) إلى أنّ الإرسال الذي يقترب من السِعة القصوى للقناة مع تقنيات تشفير متقدّمة كافية ممكن الحدوث مع نسبة أخطاء صغيرة على نحوٍ اعتباطي.
ويمكن للمرء أن يفكّر بديهيًّا أنّه بالنسبة لأي نظام اتّصالات كلّما زاد معدّل المعلومات سيزداد عدد الأخطاء في الثانية الواحدة أيضًا.
نظريّة شانون-هارتلي
وتتّصل معادلة شانون – هارتلي بالسِّعة القصوى (معدّل بتّات الإرسال) التي يمكن الحصول عليها عبر قناة معيّنة ذات خصائص ضجيج وعرض حزمة معيّن.
تُعطَى السعة القصوى بالنّسبة لـ(تابع غوص Gauss لنسبة الضجيج-AWGN) عن طريق (راجع الملحق A1 وA2 لاستخلاص معادلة شانون-هارتلي لقناة AWGN)
C=B log2 (1+S/N) →(1)
هنا (C) تعني السِّعة القصوى للقناة مقاسة بالبت في الثّانية وبالأحرى تسمّى حدّ سعة شانون للقناة المعطاة و(B) هي عرض الحزمة التردديّ للقناة بالهيرتز و(S) هي قدرة الإشارة بالواط و(N) هي قدرة الضجيج وتقاسب الواط أيضًا.
تسمى النّسبة (S/N) نسبة الإشارة بالنسبة للضجيج (SNR).
ويمكن التأكّد من أنّ معدّل نقل المعلومات الأقصى محدود دون خطأ عن طريق عرض الحزمة ومستوى الإشارة ومستوى الضجيج.
وتخبرنا بعدد البتات التي يمكن أن تنتقل في الثّانية دون أخطاء عبر قناة من عرض الحزمة (BHz) عندما تكون قدرة الإشارة مقصورة على (SWatts) عرضة لضجيج غوص الأبيض غير المربوط (NWatts) ذو الطبيعة الجمعيّة.
ويُعرَّف حدّ سِعة شانون للقناة المعطاة وهي سِعة الإرسال الأساسية القصوى التي يمكن تحقيقها عبر قناة معطاة أي مجموعة من أي مخطط تشفير أو إرسال أو فك تشفير.
هذا هو أفضل حدّ أداء يمكننا أن نأمل تحقيقه لتلك القناة.
يبدو التعبير أعلاه عن سِعة القناة منطقيًّا:
- يحدّد عرض الحزمة التردّديّ مدى السّرعة التي يمكن عن طريقها إرسال رموز المعلومات عبر القناة المعطاة.
- تحدد نسبة الإشارة بالنسبة للضجيج (SNR) مقدار المعلومات التي يمكننا ضغطها في كل رمز مرسل. وزيادة نسبة الإشارة بالنسبة للضجيج تجعل الرموز المرسلة أكثر قوة من الضجيج. نسبة الإشارة بالنسبة للضجيج هي دالّة لجودة الإشارة وقوة الإشارة وخصائص القناة. وتُقاس عند الواجهة الأمامية للمستقبل.
- لزيادة معدّل المعلومات يتعين استبدال نسبة الإشارة بالنسبة للضجيج وعرض الحزمة المخصص مع بعضمها البعض.
- ومن أجل إلغاء الضجيج تصبح نسبة الإشارة بالنسبة للضجيج لا حصر لها ولذلك يمكن الحصول على معدّل معلومات غير محدود بعرض حزمة صغير جدًّا.
بالتالي فإننا قد نقايض عرض الحزمة مقابلنسبة الإشارة بالنسبة للضجيج.
ومع ذلك كلّماأصبح عرض الحزمة(B) يميل إلى ما لا نهايةفإن سِعة القناة لا تصبح لا نهائية لأنّه مع زيادة عرض الحزمة تزيد قدرة الضجيج أيضًا.
وتعتمد معادلة شانون على مفهومين هامين:
- أنّه من حيث المبدأ يمكن إجراء مقايضة بين نسبة الإشارة بالنسبة للضجيج (SNR) وعرض الحزمة.
- أنّ سِعة المعلومات تعتمد على كلٍّ من نسبة الإشارة بالنسبة للضجيج (SNR) وعرض الحزمة.
ومن الجدير بالذكر اثنين من الأعمال الهامة من قبل العلماء البارزين قبل أطروحة شانون [1] وهي على النحو التالي.
إن عمل (إدوارد أمسترونجEdward Amstrong ) السابق حول تعديل التردّد (FM) هو دليل ممتاز على إظهار أنّ نسبة الإشارة بالنسبة للضجيج (SNR) وعرض الحزمة يمكن مقايضتهما مقابل بعضهما البعض.
وقد أثبت في عام 1936 أنّه كان من الممكن زيادة نسبة الإشارة بالنسبة للضجيج (SNR) في نظام الاتصالات باستخدام تعديل التردّد على حساب تخصيص المزيد من عرض الحزمة [2]
في عام 1903 قدم (دبليو إم ماينرW. M Miner ) في براءة اختراعه (براءة الاختراع الأمريكية 745،734 [3]) مفهوم زيادة سِعة خطوط النقل بالترجبة وتقسيم الوقت.
في عام 1937، قام (إي إيتش ريفيسA. H Reeves) في براءة اختراعه الفرنسية (براءة الاختراع الفرنسية 852،183، براءة الاختراع في الولايات المتحدة 2،272،070 [4]) بتمديد النظام باستخدام مكمّم، ممهّدًا الطريق للتقنية المعروفة بتتعديل النبض المشفر (PCM).
وأدرك أنّه سيتطلب عرض حزمة أكثر من طرق النقل التقليدية واستخدام مكررات إضافية على فترات مناسبة لمكافحة انتقال الضجيج.
واستخدم مكمّم ذي عدد كبير من مستويات التكميم بهدف تقليل الضجيج الكميّ.
تعتمد براءة اختراع ريفز على حقيقتين مهمتين:
- يمكن للمرء أن يمثّل إشارة تناظرية (مثل الكلام) بدقّة اعتباطية باستخدام تردد أخذ عينات كافي وتكميم كل عينة في واحدة من مستويات السعة المحددة مسبقًا بما فيه الكفاية.
- إذا كانت نسبة الإشارة بالنسبة للضجيج (SNR) كبيرة بما فيه الكفاية فإنّ العينات الكمّيّة يمكن إرسالها بأخطاء صغيرة اعتباطية.
ومن المفهوم ضمنيًّا من براءة اختراع ريف أنّ كمّيّة لا حصر لها من المعلومات يمكن أن تنتقل عبر قناة خالية من الضجيج من عرض حزمة صغير اعتباطيًّا.
ويؤدي ذلك إلى ربط معدّل المعلومات مع نسبة الإشارة بالنسبة للضجيج (SNR) وعرض الحزمة.
يرجى الرجوع لـ[1] و[5] للإثبات الفعليّ من قبل شانون.
يمكن العثور على نسخة أبسط بكثير من المصادر والتوضيح في [6] تحت قسم “الروابط الخارجية” في نهاية هذا الكتاب الاليكتروني)
المراجع:
[1] C. E. Shannon, “A Mathematical Theory of Communication”, Bell Syst. Techn. J., Vol. 27, pp.379-423, 623-656, July, October, 1948 [2]E. H. Armstrong:, “A Method of Reducing Disturbances in Radio Signaling by a System of Frequency-Modulation”, Proc. IRE, 24, pp. 689-740, May, 1936رابط [3] Willard M Miner, “Multiplex telephony”, US Patent, 745734, December 1903, رابط [4] A.H Reeves, “Electric Signaling System”, US Patent 2272070, Feb 1942رابط [5]Shannon, C.E., “Communications in the Presence of Noise”, Proc. IRE, Volume 37 no1, January 1949, pp10-21 [6] The Scotts Guide to Electronics, “Information and Measurement”, University of Andrews – School of Physics and Astronomy
- إعداد: أسامة كنعان
- تدقيق: محمد نور
- تحرير: يمام اليوسف
- المصدر
