مفارقة اختيار الظرفين

تخيل أنك أُعطيت ظرفين، الأول يحتوي على ضعف المال الموجود في الآخر.

وسُمح لك بأن تختار بينهما وتحتفظ بالمال الذي فيه.

ولكن قبل أن تفتح الظرف الذي اخترته لك الحق في أن تغير رأيك.

هل ستُفضل أن تحتفظ بما اخترته أم ستُغير رأيك؟

فلنفترض أن قيمة المال في الظرف الذي اخترته .

هذا يعني أن قيمة المال في الظرف الآخر إما 2X أو X/2 .

احتمالية وجود أي منها متساوية وهي 1/2 وبالتالي القيمة المتوقع الحصول عليها هي:

وبما أن ذلك أكبر من x، لذا يُفضل أن تُبدل الظرف، ولكن إذا كان لديك فرصة أخرى لتُبدل الظرف بعدما غيرت رأيك؟ باتباع نفس المنطق سيُفَضل أن نبدل الظرف مرةً أخرى وإذا أُتيح التبديل مرةً أخرى سنبدل الظرف مرةً ثالثةً وهكذا ولن نتوقف عن التبديل أبدًا ولن نحصل على المال أبدًا.

ما الخطأ في هذا المنطق؟

حل المعضلة

فلنطلق على الظرف الذي اخترته أولًا A و B على الظرف الآخر.

لنفترض أن قيمة المال في الظرف A هي X.

وبما أننا لم نفتح الظرف A، فإن X ليست قيمةً ثابتةً وإنما متغير عشوائي يُمكن أن يأخذ إحدى القيمتين: إما القيمة الكبرى أو الصغرى، لنفترض أن القيمة الصغرى هي Y والكبرى هي 2Y (تذكر أن هنالك ظرفًا يحتوي على ضعف ما يحتويه الآخر).

بما أننا اخترنا A عشوائيًا، فهنالك فرصة 50:50 بأن يحتوي A على إحدى القيمتين وهذا يعني أن قيمة المال المتوقعة (E(A في هي A:

كما قلنا سابقًا أن قيمة المال المتوقعة في B هي:

(1)
ولكن تذكر أن X ليست قيمةً ثابتةً وإنما تأخذ قيمةً من اثنتين.

ففي حالة احتواء الظرف B على 2X، الظرف سيحتوي على القيمة الأقل وبالتالي X=Y.

وفي حالة احتواء الظرف B على X/2 الظرف A سيحتوي على القيمة الأكبر وبالتالي X=2Y لذا في المعادلة (1) فإن X الأولى تساوي Y بينما الثانية تساوي 2Y، قيمتي المتغير X مختلفتين حقًا ولا يمكن جمعهما للحصول على 5X/4.

بالتعويض باستخدام Y كقيمة X الأولى و 2Y كقيمة X الثانية في المعادلة (1) نحصل على:

إذن (E(A)=E(B لذا ليس هناك سبب لتبديل الظرف وهذا ينهي التناقض.

ولكن إذا فتحنا الظرف A:

ماذا لو فتحنا الظرف A لنعرف قيمة المتغير X قبل أن يُسمح لنا بالاستبدال، هل هذا يخلق مفارقةً أيضًا؟

إذا فتحت الظرف A ستكون قيمةً X ثابتةً، هنالك فرصة 50:50 لوجود 2X أو X/2 في الظرف B، وبالتالي القيمة المتوقعة في B هي:

المعادلة الآن صحيحة. أنها تخبرنا أنه في المتوسط (إذا كررنا الرهان عدة مرات بنفس قيمة X في الظرف A) ستبلي حسنًا بالاستبدال.

لا توجد مفارقة هنا.

إذا غيرت إلى الظرف B لديك الفرصة لتبادل مرة أخرى ولكنك لن تفعل هذا لأنك بالفعل تعرف أن قيمة الموجود في A أقل من القيمة المتوقعة في B.

المفارقة كانت تنشأ بسبب أن الظرفين يمكن أن يُعاملا بالمثل، الموقف كان متماثلًا، ولكن في اللحظة التي تفتح فيها الظرف A ينكسر التماثل.

مع ذلك، فتح الظرف A ومعرفة قيمة X يُمكن أن يغير رأيك حول احتمالية وجود 2X أو X/2 في الظرف B، مثلًا إذا كانت X كبيرةً جدًا هذا يجعلك تظن أنه ليس من المرجح أن يكون الظرف B يحتوي على القيمة الكبرى، لنفترض أن P هي احتمالية وجود القيمة الكبرى في الظرف A وبالتالي القيمة المتوقعة (E(B تصبح: