ما هي معادلات نافييه-ستوكس؟
تمثل معادلات نافييه-ستوكس مفهومين أساسيين في الفيزياء، وقد جعلت الفيزيائيين يعصرون أدمغتهم في محاولة الحصول على جائزة المليون دولار.
جهزت سالي المنزل من أجل الضيوف القادمين للحفل، وعندما وصل الضيوف وقرعوا الجرس شعرت سالي بوجود رائحة سيئة في الهواء، لذلك رشَّت جميع غرف المنزل بمعطر للجو قبل دخول الضيوف.
لاحقًا طلب أحد الضيوف من سالي كوبًا من الشاي، فأحضرت سالي دورق المياه المغلية، ووضعت ظرفًا من الشاي في كوب الماء الساخن، وبينما كانت تحرك مكعب السكر في الكوب، تساءلت عن كيفية انتشار معطر الجو في جميع أنحاء الغرف، وكيفية ذوبان قطعة السكر في كوب الشاي.
حركة الموائع Fluid dynamics
ما تتساءل عنه سالي هو تدفق الموائع flow of fluids. تُعرَّف الموائع بأنها أي مادة قادرة على أخذ شكل الإناء الذي توضع فيه، لذا تُعَد الغازات والسوائل موائع، لأن الغازات -مثل السوائل- تتخذ شكل الإناء الذي توضع فيه لمرونتها.
أما الأجسام الصلبة فلا تتغير، مثل صخرة تتدفق في مجرى النهر، باستطاعتك أن تشاهد حركتها لأن جزيئاتها متقاربة، ولا تنتشر في الماء. أما عند قيامك برش المعطر من العلبة فستتدفق الجزيئات في حركة عشوائية chaotic، وكذلك عندما تذوِّب مكعب السكر في الشاي ستلاحظ أن شكل ومسار الحركة مختلف في كل مرة.
جزيئات المعطر تتشتت وتنتشر في هواء الغرفة
قانون نيوتن الثاني للحركة Newton’s Second Law of Motion
لا تنطبق قوانين الفيزياء على الأجسام الصلبة فحسب بل على الموائع أيضًا. طوَّر نيوتن قوانين الحركة، التي تشرح كيف تتحرك الأجسام في إطار مرجعي نيوتوني Newtonian. ينص قانون نيوتن الثاني على أنه إذا كانت محصلة القوى المؤثرة على جسم ما غير متساوية، يؤدي ذلك إلى التسارع acceleration. يُعبَّر عن ذلك رياضيًّا بأن القوة تساوي الكتلة مضروبةً في التسارع F=m.a.
قانون نيوتن الثاني للحركة
بقاء الكتلة Conservation of mass
لنفترض أن كميةً من مائع ما – ليكن الماء الذي كثافته ρ – يتدفق عبر أنبوب مساحتهA بالسرعة V. سنجد أن تدفق الماء من المنطقة A1 إلى المنطقة A2 (حيثA1 أكبر من A2)، مع بقاء كتلة الماء ثابتة، يؤدي إلى تغيُّر في سرعة تدفق الماء عبر الأنبوب، وذلك لأن الكثافة تبقى ثابتةً (فهي خاصية من خصائص المادة)، فتصبح السرعة هي المتغير الوحيد في أثناء تدفق المائع عبر منطقتين مختلفتين في القُطر من الأنبوب، وهو ما يعرف بمبدأ بقاء الكتلة في حركة الموائع.
لكن لماذا نشغل أنفسنا بمعرفة كل هذه المفاهيم الفيزيائية؟ ذلك لأنها مفاهيم أساسية في فهم حركة الموائع. ماذا لو أخبرتك أنه يمكنك أن تربح مليون دولار، فقط إذا استطعت حل بعض المعادلات المرتبطة بهذه المفاهيم السابقة؟ عام 2000 أعلن معهد كلاي للرياضيات Clay Mathematics Institute عن جائزة قدرها مليون دولار أمريكي لمن يستطيع حل 7 مسائل، سُميَت مسائل جائزة الألفية Millennium Prize Problems. حتى الآن لم يُحَل سوى واحدة فقط منهم، هي The Poincaré Conjecture.
إذن ما هو الأمر شديد الصعوبة الذي شغل تفكير علماء الفيزياء والرياضيات، وجعل من الصعب حل سؤال المليون دولار، مع أننا نتحدث عن مفاهيم درسناها في المرحلة الثانوية؟ الجواب هو معادلات نافييه ستوكس.
معادلات نافييه-ستوكس The Navier-Stokes equations
في القرن التاسع عشر، وضع كل من كلاود لويس نافييه وجورج غابرييل ستوكس معادلات تفاضلية جزئية لوصف حركة الموائع. يمكن كتابة المعادلات بالصيغة التالية:
حيث:
- u: تمثل تأثير الكتلة في كافة الجهات
- p: الضغط المطبق على المائع
- ρ: كثافة المائع
- F: مجموع القوى الخارجية المؤثرة على المائع
ومع أننا في القرن الحادي والعشرين، ما زلنا غير قادرين على فهم معادلات نافييه ستوكس بالكامل، وذلك بسبب اضطراب الموائع.
الاضطراب Turbulence
نسمع كثيرًا عن اضطراب حركة الطائرة في الرحلات الجوية، وليس هذا بالأمر المحبب، فالاضطراب هو حركة غير مستقرة سببها دوامات الهواء والتغيرات المستمرة في الضغط والسرعة. في هذه الأنظمة العشوائية (مثل الهواء الجوي، إذ يتغير فيه اتجاه الهواء وسرعته والضغط الجوي، إلخ) يؤدي تغير بسيط في الحالة الأولية للنظام إلى تغير شديد في النتائج، أي أن النظام يسلك سلوكًا غير خطي nonlinear.
كثيرًا ما نشعر بالاضطراب في أثناء ركوب الطائرة
لأغراض عملية، تُقرَّب المعادلات إلى قيم أو حدود معينة لاستنتاج حلول لمسائل محددة، لكن معادلات نافييه- ستوكس لم تُحَل حتى الآن، ومع أنها مطبقة في العالم الواقعي، لم نتوصل إلى حل للمعادلات في شكلها الأولي. كثيرًا ما تلجأ الرياضيات لإيجاد حلول بديلة لمسائل محددة، لكن ما زالت هذه المعادلات الصعبة تنتظر من يتمكن من حلها.
أحدثت مسائل جائزة الألفية ضجةً في العالم، وظهرت في فيلم Gifted عام 2017. وسخَّر العديد من أصحاب العقول الماهرة جهودهم لحل معادلات نافييه-ستوكس ، أملًا في الحصول على الجائزة النقدية الكبرى، إضافةً إلى الشهرة في المجتمع الأكاديمي. لكن ما تزال 6 من معادلات جائزة الألفية الجديدة لم تُحَل حتى الآن، لذلك عندما تشعر بالملل في عطلتك، ضع هذه الألغاز في اعتبارك، وفكر في إذا ما كنت بالفعل عقلًا رياضيًّا.
اقرأ أيضًا:
ما الفرق بين الكتلة والوزن؟ ما هي وحدة قياس الكتلة ووحدة قياس الوزن؟
الفرق بين ثنائي البعد 2D وثلاثي البعد 3D
ترجمة: بلال الإبراهيم
تدقيق: إلياس عباس
مراجعة: أكرم محيي الدين
