ما هي الأرقام المعقدة؟

حل المعادلات الرياضية غالباً ما ينطوي على أخذ الجذور التربيعية للأرقام، وإذا لم تكن حذراً كفاية فقد تأخذ عن طريق الخطأ الجذر التربيعي لرقم سالب.

هذا بالطبع غير مسموح في الرياضيات، لكن إذا حبست أنفاسك لبعض الوقت واستمريت، فقد تأخذ الجذر التربيعي للناتج السالب الذي اخذته مسبقاً مرةً أخرى وينتهي بك المطاف مع عدد سلبي وهذا هو الحل الصحيح تماماً لمعادلتك.

لاحظ الناس هذه الظاهرة لأول مرة في القرن الخامس عشر. و في وقت لاحق بكثير، أي القرن التاسع عشر، لاحظ ويليام روان هاميلتون أن الأرقام غير القانونية (غير المسموح بها) التي تأتي بهذه الطريقة يمكن دائما أن تكون مكتوبة كما يلي

x + iy حيث x و y أرقام عادية و i هو الجذر التربيعي للعدد -1. ويمكن تمثيل الرقم i نفسه بهذه الطريقة مع

x = 0 و y = 1. وتسمى أرقام هذا النموذج الأرقام المعقدة.

يمكنك جمع اثنين من الأرقام المعقدة هكذا:

وتضربها هكذا:

ولكن كيف يمكننا تصور هذه الأرقام عند اضافتها أو ضربها؟ العناصر x و y هي أرقام عادية بأمكاننا تعين نقطة لها مع الإحداثيات (x،y) على سطح مستوي، والذي هو المكان الذي كنت ستصل إليه إذا كنت تمشي تلك المسافة x في الإتجاه الأفقي والمسافة y عمودياً.

لذا فإن العدد المعقد (x + u) + i (y + v)، الذي يمثل مجموع (x + iy) و (u + iv)، يتوافق مع النقطة التي تحصل عليها عن طريق المشي لمسافة x + u في الاتجاه الأفقي والمسافة y + v في الاتجاه العمودي. يبدو هذا منطقياَ.

ماذا عن الضرب؟ فكر في الأرقام التي تقع على المحور الأفقي مع إحداثيات (x،0). عبر ضربهم بالرقم -1 تقلبهم العملية إلى الجانب الآخر من النقطة (0،0): (1،0) يذهب إلى (-1،0)، (2،0) يذهب إلى (-2،0)، وهكذا. في الواقع، يمكنك التفكير في الضرب بالرقم -1 كالتدوير: يمكنك بهذا تدوير السطح بأكمله بنسبة 180 درجة حول النقطة (0،0).

ماذا عن الضرب بــ i، الجذر التربيعي لعدد -1؟ ضرب i مرتين هو نفسه ضرب -1. حتى إذا كان الأخير يتوافق مع الدوران بنسبة 180 درجة، يجب أن تتوافق القيمة السابقة مع الدوران بنسبة 90 درجة. وهذه الطريقة تعمل.

حاول ضرب أي عدد معقد، على سبيل المثال 2 + i5، مضروبة في i وسترى أن النتيجة تتوافق مع النقطة التي تحصل عليها عن طريق تناوب الدوران 90 درجة (عكس اتجاه عقارب الساعة) حول النقطة (0،0).

لكن ماذا عن الضرب ليس فقط بـ i ولكن بعدد معقد أكثر مثل u +iv؟ حسنا، ضرب عدد إيجابي عادي يتوافق مع امتداد أو تقلص المستوي: الضرب بالعدد 2 يأخذ نقطة (x، y) إلى (2x، 2y) الذي هو أبعد من (0،0) (وهذا يمتد) والضرب بالنصف (1/2) يأخذ النقطة إلى (x / 2، y / 2) وهو أقرب إلى النقطة (0،0) (تقلص).

اتضح أن الضرب بعدد معقد u + iv يتوافق مع مزيج من التدوير والتقلص/ تمتد. على سبيل المثال، الضرب بـ -1 + 1.732i هو دوران بمقياس 120 درجة مرافقة بتمدد بمقدار عامل 2.

نستنتج هنا أن الأعداد المعقدة ليست مجرد صور غريبة من الخيال مصممة لمساعدتك في حل المعادلات، الأعداد المعقدة لديها وجود هندسي خاص بها.