ما هو ميكانيك لاغرانج ؟

ميكانيك لاغرانج هي إعادة صياغة للميكانيك الكلاسيكية (ميكانيك نيوتن)، قام بها الرياضي الفلكي والإيطالي الفرنسي جوزيف لويس لاغرانج عام 1788. في الميكانيك اللاغرانجية: يُحسب مسار جسم ما من خلال حل معادلة لاغرانج بأحد شكليها اللذين يختلفان عن بعضهما بكيفية التعامل مع التقييدات الفيزيائية. ولكن ما هي التقييدات الفيزيائية ؟

التقييدات في الفيزياء هي أمور لا يمكن للنظام الفيزيائي تجاوزها. تخيل مثلًا أن مكعبًا ينجرف عن منحنى بتأثير قوة ثقله. عندها يجب أن يبقى المكعب ملامسًا للمنحني.

تتعامل معادلة لاغرانج من النوع الأول مع القيود على أنها معادلات بذاتها. مثلًا: هناك معادلة تحدد ارتفاع المكعب أثناء انزلاقه، وبالتالي تضمن بقاءه على سطح المنحني. أما معادلة لاغرانج بشكلها الثاني فتتعامل مع التقييدات من خلال تحديد الإحداثيات المسموحة بشكل يتوافق معها. أي إن هناك إحداثيات معينة فقط يمكن للمكعب شغلها وتضمن بقاء المكعب على سطح المنحني.

لا تمثل الميكانيك اللاغرانجية اكتشافًا فيزيائيًا جديدًا مختلفًا عن ميكانيك نيوتن. ولكنها أكثر تعقيدًا رياضيًّا، ما يجعلها أفضل للاستخدام في بعض الحالات.

مثلًا: تكون طبيعة ميكانيك نيوتن مناسبة عند استخدام الإحداثيات الديكارتية، أما ميكانيك لاغرانج فهي مناسبة للاستخدام في حال استخدام أي نوع من أنظمة الإحداثيات.

تتعامل ميكانيك نيوتن مع القوى غير المحافظة للطاقة كالاحتكاك بعكس القوى المقيدة التي يجب تعريفها بوضوح (ما قد يكون صعبًا في الكثير من الأحيان). أما ميكانيك لاغرانج فهي مثالية للتعامل مع القوى المقيدة ويمكنها أيضًا تعريف القوى غير المحافظة على أنها معادلات واستخدام شكل معادلة لاغرانج الأول.

يمكن من خلال اختيار الإحداثيات بشكل مناسب الاستفادة من أي علاقات هندسية -كالتناظر- ناتجة عن التقييدات، ما يجعل حل المسألة أسهل بكثير. تستخدم ميكانيك لاغرانج عندما لا تكون ميكانيك نيوتن مناسبة. وغالبًا ما نستخدم الشكل الثاني لمعادلة لاغرانج بدلًا من الأول.

لنتخيل مثلًا نواسًا ثقليًا بسيطًا مهتزًا (خيط معلق به كرة تتأرجح) نريد أن ندرس حركته. في ميكانيك نيوتن، علينا أن نتعامل مع القوة المقيدة المتغيرة بمرور الزمن، والتي تبقي الكرة بحركة مقيدة (قوة توتر الخيط). أما إذا استخدمنا ميكانيك لاغرانج فيجب علينا اختيار نظام إحداثيات مناسب يمكننا من خلاله وصف حركة النواس. ما يسمح لنا بتجاوز التعامل مع القوة المقيدة كليًا.

لنفترض أن لدينا جسمًا مكونًا من N جسيم نعتبر كلًا منها نقطة. كل منها لديها كتلة mn ومتجه موضع يحدد بثلاثة متغيرات (في نظام الإحداثيات الديكارتي): rn = (xn,yn,zn). إن سرعة كل نقطة هي مشتق موضعها بالنسبة للزمن أي vn = drn /dt. في ميكانيك نيوتن تُعطى معادلات الحركة من قوانين نيوتن. يُختصر قانون نيوتن الثاني بالمعادلة:

F=ma=m d2r/dt2

وبالتالي من أجل N نقطة يجب علينا حل 3 N معادلة تفاضلية من المرتبة الثانية. في الميكانيك اللاغرانجية: نستخدم بدلًا من القوى الطاقة الكلية للنظام. تستخدم ميكانيك لاغرانج بدلًا من معادلة نيوتن تابعًا يُدعى بتابع لاغرانج يعبر عن الديناميكية الكلية في النظام (الديناميكية: كيفية تحول الطاقة من شكل لآخر، من حركية لكامنة مثلًا أثناء الحركة).

يمكن استعمال أي معادلة تستنبط قوانين الحركة بشكل صحيح يتوافق مع قوانين الفيزياء تابعًا في لاغرانج. بالتالي، لا يوجد تابع واحد صحيح يمكن استعماله لكل النظم الفيزيائية. ولكن يمكننا تصميم توابع صالحة لعدد كبير من التطبيقات. إحدى صور التابع اللاغرانجي هي:

L = T – V

حيث L: الطاقة الحركية الكلية للنظام وV: الطاقة الكامنة الكلية للنظام.

تتعلق الطاقة الحركية بالسرعة فقط ولا تتعلق بالزمن أو الموضع. أما الطاقة الكامنة فتتعلق فقط بموضع الجسم إذا كانت القوة محافظة وبالموضع وبالسرعة وبالزمن إذا لم تكن القوة محافظة. إن التابع اللاغرانجي السابق لا يصلح عندما يصبح تأثير النسبية واضحًا، وبالتالي يجب تعديله من أجل السرعات النسبية.

قد تكون إحدى نقاط النظام خاضعة لتقييد ما يمكن التعبير عنه بالشكل .f(r,t) = 0 إذا كان عدد التقييدات c يكون لكل تقييد معادلة من الشكل fm(r,t) = 0.

يمكن لأي منها أن يؤثر على عدد من النقاط. ويمكن أن تخضع النقاط لتقييدات أكثر تعقيدًا تحتاج وصفًا آخر، وعندها تجب معاملتها معاملةً خاصةً أو نعود إلى الميكانيك النيوتنية. بعد هذا الشرح نستطيع الآن تعريف معادلة لاغرانج من النمط الأول:

حيث: .k = 1,2,3,…,N و λi مضاعف لاغرانج.

إذا حولنا كل متجه مكاني rk باستعمال إحداثيات عامة q (تمثل حالة افتراضية ما) وصغنا حالات النقاط الأخرى على أساسها كما أنها قيمة متجهة: q=q1,q2,q3,…,qn لتابع بدلالة q و t: