إنَّ ترجمة الفيزياء للبلياردو تشمل في معظمها التصادم بين كراته.
عندما تصطدم كرتا بلياردو يكون التصادم مرنا تقريبا.
التصادم المرن هو الذي تُحفظ خلاله الطاقة الحركيَّة للنظام قبل وبعد التصادم.
في التصادم بين الكرات، يبقى الاحتكاك موجودا (كما في أي تصادمٍ آخر).
وفي حالة مُبسَّطة بافتراض عدم وجود احتكاك، بإمكاننا افتراض التصادم المرن من أجل معرفة مسار كُرتي بلياردو متصادمتين بعد حصول التصادم.
الشكل التالي يظهر التصادم بين كرتين.
بصفة عامة لا يكون التصادم وجهًا لوجه، وهذا ما يُظهره الشكل أدناه.
ونفترض أنَّ للكرتين A وB نفس الكتلة وأنَّ الكرة B في حالة سكون (السرعة صفر).
أمَّا السرعة الأوليَّة للكرة A فهي V1A. بعد التصادم، تتجه الكرة A بسرعة V2A في الاتجاه الظاهر على الصورة، وتتحرك الكرة B بسرعة V2B في الاتجاه المُبيَّن.
تصادم كرات البلياردو
يُرسم الخط L1 عند مماس الكرتين في نقطة الالتقاء. وطبقًا للهندسة، يكون L1 عموديًا للخط الذي يصل مركز كلٍّ من الكرتين ونقطة الالتقاء CP. كذلك، يشكل L1 زاوية ثيتا θ مع كلٍّ من الخط المار بين مركزي الكرتين والخط الأفقي وزاوية ثيتا θ مع الخط الأفقي.
بعد التصادم في نقطة CP، تتحرك الكرة B في اتجاه الخط الرابط بين مركزي الكرتين، كما هو واضح في الصورة.
وهذا يعود إلى القوة (الدافعة) المستمدة من الكرة A نحو الكرة B، بافتراض عدم وجود احتكاك (وهذا افتراض صحيح تقريبا لأن كرات البلياردو ملساء).
وهكذا، تتحرك الكرة B في اتجاه هذا الدَّافع.
نلاحظ أنَّ تحرُّك الكرة A بعد التصادم سيكون في اتجاه عمودي لاتجاه الكرة B.
بإمكان إثبات هذه النتيجة المثيرة كما يلي:
تحليل تصادم الكرات
بالنسبة لتصادم كرتين، تكون معادلة المتجهات العامَّة لحفظ الزخم الخطّي كما يلي:
وبما أنَّنا افترضنا أنَّ mA وmB متساويتين، يمكننا تبسيط المعادلة:
تكون الطاقة الحركيَّة محفوظة في التصادم المرن، والمعادلة تكون بالشكل التالي:
ونعلم مسبقًا أنَّ mA وmB متساويتين، لذلك نبسّط المعادلة إلى:
وفق نظرية فيثاغورس، تخبرنا المعادلة الأخيرة أنَّ المتجهات V1A و V2A و V2B تكون مثلثا قائما.
إذن، يمكننا تمثيل معادلة المتجهات لحفظ الزخم على الشكل الآتي:
وهكذا، بعد التصادم تتحرك الكرة A في اتجاه عمودي لاتجاه الكرة B.
إنَّها نتيجة سهلة للغاية.
لكن، هناك حالتين خاصتين يجب علينا أخذهما بعين الاعتبار عند الحديث عن تصادم الكرات.
في حالة ما إذا وجب علينا ضرب الكرة الهدف B في زاوية θ قريبة جدًّا من الصفر (كأن تهدف إلى إدخالها في الجيب الجانبي للطاولة)، يجب أن تتحرك الكرة A بسرعة عالية V1A (مما يعني أنَّه يجب عليك أن تضربها بقوة أكبر).
وهذا يعود لانتقال جزء صغير للغاية من زخم الكرة A إلى الكرة B، بسبب ميل التصادم.
أمَّا حين يكون التصادم وجهًا لوجه (θ = 90°) لن يكون الأمر في الحالة الأولى مُجديًا.
في هذه الحالة تكون V2A = 0 و V2B = V1A. وهذا يعني أنَّ سرعة الـكرة A قد انتقلت بشكل كامل نحو الكرة B.
النقطة المثالية – The Sweet Spot
فيزياء البلياردو مشابهة لفيزياء ضرب كرة القاعدة، إذ نجد أيضا النقطة المثالية على كرة البلياردو حيث يمكن ضربها بالعصى دون التسبب في أي احتكاك بين الكرة وطاولة البلياردو.
معرفة النقطة المثالية بإمكانها منحك فكرة عن مكان ضرب الكرة لجعل الكرة تدور نحو الأمام أو الوراء، وقد يكون ذلك مفيدًا عند ضرب الكرة.
في الشكل التالي نعبّر عن موقع العصى بارتفاع يكون رمزه h:
نطمح إلى إيجاد ارتفاع معين h بحيث لا نحدث أية قوة احتكاك (أفقيَّة) في النقطة P عند ضرب الكرة بالعصى.
تحليل النقطة المثالية
في هذا التحليل بإمكاننا تمثيل نظام الكرة + العصى بمخطط الجسم الحر التالي:
حيث تكون:
F هي القوة التي تطبقها العصى على الكرة عند الضرب
r هو نصف قطر الكرة
G هو مركز كتلة الكرة
g هو التسارع بسبب الجاذبية، والذي يساوي 9.8m/s2
P هي نقطة التقاء الكرة مع طاولة البلياردو
FPx هو العنصر x للقوة المطلقة على الكرة من طرف طاولة البلياردو، عند النقطة P. إنها قوة الاحتكاك.
Fpy هو العنصر y للقوة المطلقة على الكرة من طرف طاولة البلياردو، عن النقطة P. حسب القانون الثاني لنيوتن، المعادلة العامة للقوة في الإتجاه x هي:
حيث تكون m كتلة الكرة، و aGx هو تسارع مركز الكتلة في الاتجاه x. تصبح هذه المعادلة كما يلي:
وبما أنَّ FPx = 0 نحصل على ما يلي:
حسب القانون الثاني لنيوتن، المعادلة العامة للقوة في الاتجاه y هي:
حيث تكون aGy هي تسارع مركز الكتلة في الإتجاه y. بما أنَّ كرة البلياردو تتحرك في الإتجاه x بـ aGy = 0، ستصبح المعادلة السابقة كما يلي:
ومن ثم:
يجب أن علينا الآن أن نكتب عزم القوة العامة لدوران جسم جامد حول مركزه بكتلة G:
حيث تكون:
ΣMG هي قيمة عزم القوة عند مركز الكتلة G
IG هو عزم قوة عطالة الكرة حول مركز كتلتها
αهو التسارع الزاوي للكرة.
بمَّا الاحتكاك منعدم بين الكرة والطاولة، فلا وجود لانزلاق نسبي عن النقطة P. وهذا يعني أنَّنا نملك حالة من الدحرجة التامَّة. وهكذا، بإمكاننا كتابة ما يلي:
تصبح معادلة عزم القوة كما يلي:
بجمع المعادلتين الأولى والثانية نحصل على:
بالنسبة لكرة صلبة:
ومن ثم نحصل على:
وذلك هو الارتفاع الذي يجب أن نضرب الكرة عليه لتجنب الاحتكاك عن النقطة P. مهما تكن قوة الضربة على تلك النقطة لن يحدث أي احتكاك (تفاعل) على النقطة P. وهكذا، تكون النتيجة دائمًا بعد التصادم دحرجة تامَّة للكرة
(عدم وجود انزلاق نسبي).
في حالات ضرب الكرة في مكان أعلى أو دون الارتفاع h، سيكون الاحتكاك ضروريًّا من أجل منع الكرة من الانزلاق على سطح طاولة البلياردو. وإذا ما كانت الضربة على الكرة بالقوة الكافية (أعلى أو أسفل الارتفاع h) سيحدث الانزلاق النسبي، وذلك بسبب الاحتكاك الغير كافٍ بين الكرة والطاولة.
في حالات حدوث الانزلاق النسبي يكون لدينا هذا التباين:
وهذا يعني وجود حركة نسبية بين الكرة وطاولة البلياردو عند النقطة P مباشرة بعد التصادم.
وبلغة أخرى، السرعة الزاوية للكرة عند النقطة P ليست مساوية في الدرجة ومعاكسة في الاتجاه بالنسبة لسرعة مركز كتلة الكرة G.في حالة الدحرجة التامَّة، السرعة الزاوية للكرة عند النقطة P هي مساوية في الدرجة ومعاكسة في الاتجاه بالنسبة لسرعة مركز كتلة الكرة G. ومن هذا، تتلاشى السرعات ولن يكون هنالك انزلاق نسبي عند النقطة P.
تحليل الانزلاق النسبي
إنَّ الانزلاق النسبي بين الكرة وطاولة البلياردو مثير فيما يخص التحليل.
من المفيد أن نفهم كيف تتحرَّك الكرة بالاعتماد على نسبية مكان ضربة الارتفاع h. لاحظ الشكل التالي:
عندما تضرب الكرة بشكلٍ كافٍ مع قوة يساريَّة في المنطقة A1 تمنح الكرة سرعة يساريَّة كذلك، وتدور إلى الوراء في الاتجاه CW. يحدث الانزلاق النسبي عند النقطة P، وقوة الاحتكاك الناتجة عن ذلك موجهة إلى اليمين.
تنخفض السرعة اليساريَّة للكرة وتتزايد نحو اليمين بسبب اتجاه القوة الاحتكاكية.
وتنخفض درجة الدوران إلى الوراء بسبب قوة الاحتكاك كذلك.
ويستمرُّ ذلك حتى يتوقف الانزلاق النسبي عند النقطة P لتحدث الدحرجة التامَّة.
عندما تضرب الكرة بشكلٍ كافٍ مع قوة يساريَّة في المنطقة A2 تمنح الكرة سرعة يساريَّة كذلك، وتدور إلى الأمام في الاتجاه CCW. يحدث الانزلاق النسبي عند النقطة P، وقوة الاحتكاك الناتجة عن ذلك موجهة إلى اليمين.
تنخفض السرعة اليساريَّة للكرة وتتزايد نحو اليمين بسبب اتجاه القوة الاحتكاكية.
وتنخفض درجة الدوران إلى الوراء بسبب قوة الاحتكاك كذلك.
ويستمرُّ ذلك حتى يتوقف الانزلاق النسبي عند النقطة P لتحدث الدحرجة التامَّة.
عندما تضرب الكرة بشكلٍ كافٍ مع قوة يساريَّة في المنطقة A3 تمنح الكرة سرعة يساريَّة كذلك، وتدور إلى الأمام في الاتجاه CCW.
يحدث الانزلاق النسبي عند النقطة P، وقوة الاحتكاك الناتجة عن ذلك موجهة إلى اليمين.
تنخفض السرعة اليساريَّة للكرة وتتزايد نحو اليمين بسبب اتجاه القوة الاحتكاكية.
وتنخفض درجة الدوران إلى الوراء بسبب قوة الاحتكاك كذلك.
ويستمرُّ ذلك حتى يتوقف الانزلاق النسبي عند النقطة P لتحدث الدحرجة التامَّة.
وهكذا، تختلف طبيعة الانزلاق باختلاف مكان ضرب العصى للكرة (A1, A2, A3).
لاحظ أنَّه في الثلاث حالات السابقة، تسمى قوة الاحتكاك التي تسبب الانزلاق النسبي بالاحتكاك الحركي.
ويحدث الاحتكاك الحركي عند حدوث “فرك” بين سطحين.
هذا النوع من الاحتكاك يعاكس اتجاه الحركة. كمثال على ذلك، إذا انزلق صندوق على الأرض إلى اليسار، سيكون الاحتكاك الحركي بين الصندوق والأرض إلى اليمين.
عندما نكون أمام هذا النوع من الاحتكاك يجب أن تأخذ بعين الاعتبار اتجاه الانزلاق النسبي ومن ثم استنتاج اتجاه الاحتكاك الذي سيكون في الاتجاه المعاكس.
من جهة أخرى، عند انعدام الانزلاق النسبي بين سطحين تعرف قوة الاحتكاك بينهما بمصطلح الاحتكاك الساكن.
في الحالات العامة حين لا تشهد كرة البلياردو أي انزلاق نسبي عند النقطة P، يكون لدينا احتكاك ساكن محافظ على الدحرجة التامَّة.
ملاحظات ختاميَّة:
كما رأيتم، يمكن أن تتدخل فيزياء البلياردو بشكل قويّ عند اعتبار كل ما قد يحدث في لعبة نموذجيَّة.
بإمكانك المراهنة على اعتماد اللاعبين المحترفين على الفيزياء الموجودة هنا خلال ممارسة هذه اللعبة، وكما هو الحال بالنسبة للأبعاد الأخرى للعبة البلياردو التي لم نناقشها في هذا المقال.
- إعداد: وليد سايس.
- تدقيق بدر الفراك.
- تحرير: عيسى هزيم.
- المصدر
