الرياضيات الجميلة

المعادلات الرياضية ليست مفيدة فقط بل العديد منها جميلة جدًا. ويعترف العديد من العلماء أنهم غالبًا ما يكون لديهم شغف بصيغ معينة ليس فقط لوظيفتهم وإنما لشكلها ولما تحتويه من بساطة شعرية.

في حين أن بعض المعادلات الشهيرة مثل النظرية النسبية لألبرت اينشتاين E = mc^2 تستحوذ على معظم الهالة الجماهيرية، العديد من الصيغ الأقل شهرة لديها أبطالها بين العلماء. سأل موقع لايف ساينس – live science الفيزيائيين والفلكيين والرياضيين عن معادلاتهم المفضلة. وهنا ما وجدنا:

النسبية العامة

وقد صاغ ألبرت أينشتاين المعادلة أعلاه كجزء من نظريته النسبية العامة في عام 1915. النظرية غيرت بشكل ثوري طريقة فهم العلماء للجاذبية من خلال وصف القوة باعتبارها تشويه لنسيج الفضاء والزمان.

يقول عالم الفيزياء الفلكية في معهد تلسكوب الفضاء (ماريو ليفيو)، الذي رشح المعادلة كالمفضلة له: «ما زال من المدهش بالنسبة لي أن هذه المعادلة الرياضية فقط يمكن أن تصف ما هو الزمكان بشكل تام». «في هذه المعادلة تجسدت عبقرية أينشتاين كلها»

يقول ليفيو: «إن الجانب الأيمن من هذه المعادلة يصف محتويات الطاقة في كوننا بما في ذلك الطاقة المظلمة التي تدفع التسارع الكوني الحالي. ويصف الجانب الأيسر هندسة الزمكان». المعادلة تعكس الحقيقة في النسبية العامة لآينشتاين وهي أن الكتلة والطاقة تحدد الهندسة، وبالتزامن مع ذلك يحدد الانحناء، الذي هو مظهر من مظاهر ما نسميه الجاذبية.

وقال كايل كرانمر، الفيزيائي في جامعة نيويورك: «إنها معادلة أنيقة جدًا، وتضيف أن المعادلة تكشف عن العلاقة بين الزمكان والمادة والطاقة. هذه المعادلة تخبرك كيف يشوه وجود الشمس الزمكان لذا تتحرك الأرض حول الشمس بمدارها وما إلى ذلك. كما يخبرك كيف تطور الكون منذ الانفجار الكبير ويتوقع أنه يجب أن يكون هناك ثقوب السوداء».

النموذج القياسي

هي إحدى نظريات الفيزياء السائدة، النموذج القياسي يصف مجموعة من الجسيمات الأساسية التي يعتقد حاليًا أنها تشكل الكون لدينا.

النظرية يمكن أن يُعبر عنها في معادلة رئيسية تسمى نموذج لاغرانجيان (سميت على اسم عالم الرياضيات والفلك الفرنسي جوزيف لويس لاجرانج في القرن الثامن عشر). وتم اختيار المعادلة هذه من قبل الفيزيائي النظري لانس ديكسون من مختبر ( SLAC National Accelerator ) في ولاية كاليفورنيا كصيغته المفضلة .

وقال ديكسون للايف ساينس «لقد وصفت المعادلة بنجاح جميع الجسيمات الأولية والقوى التي راقبنها في المختبر حتى الآن باستثناء الجاذبية»، «وهذا يشمل، بطبيعة الحال، جسيم بوزون هيغز (المكتشف حديثًا). «الصيغة متسقة ذاتيًا بشكل كامل مع ميكانيكا الكم والنسبية الخاصة»
ومع ذلك، فإن نظرية النموذج القياسي لم تتحد مع النسبية العامة، وهذا هو السبب عدم وصفها للجاذبية.

حساب التفاضل والتكامل

وبينما تصف المعادلتان الأوليتان جوانب معينة من الكون، يمكن تطبيق إحدى المعادلات المفضلة الأخرى على كل أشكال وأنماط المواقف الرياضية الأخرى. أساسيات نظرية التفاضل والتكامل تشكل العمود الفقري للطريقة الرياضية المعروفة باسم حساب التفاضل والتكامل وتربط أفكاره الرئيسية مفهوم التفاضل ومفهوم المشتقة.

«وبعبارة بسيطة، نقول أن المعادلة هي التغير الصافي في كمية سلسة ومستمرة، مثل المسافة المقطوعة، على مدى فترة زمنية معينة (أي الفرق في قيمة الكمية عند نقطة النهاية في فترة زمنية محددة) وتساوي تكامل معدل التغير في تلك الكمية، أي التكامل بين السرعة»، وقالت ملكانا براكالوفا-تريفيثيك، رئيسة قسم الرياضيات في جامعة فوردهام، التي اختارت هذه المعادلة كمعادلتها المفضلة، «أساسيات النظرية لحساب التفاضل والتكامل (FTC) تسمح لنا بتحديد صافي التغيير على مدى فترة معينة استنادًا إلى معدل التغيير على مدى الفترة بأكملها».

بدأت بذور حسابات التفاضل والتكامل في العصور القديمة، ولكن الكثير منها تم جمعها في القرن السابع عشر من قبل إسحاق نيوتن، الذي استخدم حساب التفاضل والتكامل لوصف حركات الكواكب حول الشمس.

نظرية فيثاغورس

معادلة قديمة ولكنها جيدة وهي نظرية فيثاغورس الشهيرة، والتي يتعلمها كل طلاب الهندسة في بداية دراستهم.
تصف هذه الصيغة كيف أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربع طول الضلعين الاخرين في المثلث القائم الزاوية. وبالتالي، فإن
a^2 + b^2 = c^2

تقول عالمة الرياضيات دينا تايمينا من جامعة كورنيل: «كانت أول حقيقة رياضية تدهشني نظرية فيثاغورس، كنت طفلة ثم بدا لي مدهش جدًا أنه يطبق في الهندسة ويعمل أيضًا مع الأرقام!».

1 = 0.999999999 ….

هذه المعادلة البسيطة التي تنص على أن العدد 0.999 يليه سلسلة لانهائية من التسعات يعادل واحد. وهي المعادلة المفضلة لدى عالم الرياضيات ستيفن ستروغاتز من جامعة كورنيل.

يقول ستروغاتز: «أنا أحب بساطتها الجميع يفهم معناها ولكنها مستفزة بعض الشيء». «كثير من الناس لا يعتقدون أنها صحيحة، لكنها متوازنة بشكل جميل. حيث يمثل الجانب الأيسر منها بداية الرياضيات، والجانب الأيمن يمثل أسرار اللانهاية».

النسبية الخاصة

أينشتاين يعود للقائمة مرة أخرى بصيغة النسبية الخاصة هذه المرة، والتي شرحت كيف أن الزمان والمكان ليسا مفاهيم مطلقة، وإنما هي مفاهيم نسبية تعتمد على سرعة المراقب. وتظهر المعادلة أعلاه كيف يتمدد الوقت، أو يتباطأ، والشخص الأسرع يتحرك بأي اتجاه.

وقال بيل موراي، فيزيائي الجسيمات في مختبر سيرن في جنيف: «المقصد منها هو أنها بسيطة جدًا». «لا يوجد شيء لا يمكن لطالب بمستوى A فعله، لا المشتقات المعقدة ولا رسم خطوط الجبر. هذه الطريقة تجسد نظرة جديدة تمامًا للعالم، وموقف كامل للواقع وعلاقتنا به. وفجأة، الكون الثابت اللا متغير تغير وحل محله عالم شخصي، يتعلق بما تراه، تغير مكانك من خارج الكون تنظر إلى الداخل لإحدى المكونات داخل الكون. ولكن المفاهيم ورياضيات الكون يمكن لأي شخص فهمها إذا أراد ذلك».

وقال موراي إنه يفضل معادلات النسبية الخاصة أكثر من الصيغ الأكثر تعقيدًا في نظرية آينشتاين اللاحقة. «لم أستطع أبدًا اتباع رياضيات النسبية العامة».

معادلة أويلر

vertex=قمة–edge=حافة–face=وجه 1

هذه الصيغة البسيطة تحمل شيئًا نقيًا حول طبيعة الفلك:

قال كولين آدامز، عالم رياضيات في كلية وليامز في ماساتشوستس
«وتقول المعادلة أنه إذا قمت بقطع الشكل الهندسي حتى تصل بالقطع إلى وجه الشكل وحوافه وقممه، بمعطيات تكون كالتالي ف=عدد أوجه الشكل، ع=عدد الحواف، س=عدد القمم بالشكل، وسوف تحصل دائمًا س -ع + ف = 2»

وأوضح آدمز «على سبيل المثال، أخذ شكل رباعي يتكون من أربعة مثلثات، ستة حواف وأربعة قمم» «إذا ضغطت بقوة على الاربع الوجوه بوجود أسطح مرنة أو ناعمة، فيمكنك تحويلها إلى شكل كروي، لذلك يمكن أن تقطع الكرة إلى أربعة أوجه وست حواف وأربع قمم، ونرى أن س -ع + ف = 2 يحمل نفس الخاصية للهرم مع خمسة أوجه، أربعة مثلثات، ومربع واحد، ثمانية حواف وخمسة قمم»، وأي مزيج آخر من الوجوه والحواف والقمم.

يقول آدامز: «حقيقة رائعة جدًا، إن الدمج بين القمم والحواف والوجوه يعطي شيئًا أساسي جدًا حول شكل الكرة».

معادلات اويلر-لاغرانج ونظرية نويثر

وقال كرانمر من جامعة نيويورك «هذه هي مجرد نبذة مختصرة، ولكنها قوية بشكل مثير للدهشة» «الشيء الرائع هو أن طريقة التفكير هذه في الفيزياء قد نجت من بعض الثورات الكبرى في الفيزياء، مثل ميكانيكا الكم والنسبية، وما إلى ذلك»

هنا، L يرمز إلى لاغرانجيان، وهو مقياس للطاقة في نظام فيزيائي معينة، مثل الزنبرك، أو الرافعات أو الجسيمات الأساسية. وأضاف كرانمر «حل هذه المعادلة تخبرك كيف سيتطور النظام مع مرور الوقت».

جزء من معادلة لاغرانجيان يطلق عليها نظرية نويثر، سُميت على اسم عالم رياضيات القرن العشرين الألماني إيمي نويثر. «هذه النظرية أساسية جدًا للفيزياء ودور التناظر»، وقال كرانمر «بشكل غير رسمي، النظرية هي أنه إذا كان النظام الخاص بك لديه التناظر إذن هناك قانون حفظ مناظر، على سبيل المثال، فكرة أن القوانين الأساسية للفيزياء هي نفسها اليوم كما غدا (التناظر الزمني) يعني أن يتم الحفاظ على الطاقة. فكرة أن قوانين الفيزياء هي نفسها هنا كما هي في الفضاء الخارجي يعني ضمنيًا أن الحفاظ على كمية القوة الدافعة. ربما يكون التناظر أحد المفاهيم المفتاحية في أساسيات الفيزياء، وذلك كله بسبب مساهمة نويثر».

معادلة كالان-سيمانزيك

قال الفيزيائي النظري مات ستراسلر من جامعة روتجرز: «إن معادلة كالان-سيمانزيك هي معادلة أساسية للمبادئ الأولى من عام 1970، وهي ضرورية لوصف كيف ستفشل التوقعات الساذجة في عالم الكم». المعادلة لها العديد من التطبيقات، بما في ذلك السماح للفيزيائيين لتقدير كتلة وحجم البروتون والنيوترون، والتي تشكل نُوى الذرات.

الفيزياء الأساسية تخبرنا أن قوة الجاذبية والقوة الكهربائية بين كائنين تتناسب عكسيًا مع مربع المسافة بينهما. على مستوى بسيط، ينطبق الشيء نفسه على القوة النووية التي تربط البروتونات والنيوترونات معًا لتشكيل نُوى الذرات، والذي يربط الكواركات معًا لتشكيل البروتونات والنيوترونات. ومع ذلك، يمكن للتقلبات الكمومية الصغيرة أن تغير قليلًا من اعتماد القوة على المسافة، مما له عواقب وخيمة على القوة النووية الشديدة.

وقال ستراسلر «هذا يمنع القوة من التناقص في المسافات الطويلة، ويتسبب في اعتراض الكواركات والجمع بينها لتشكيل البروتونات والنيوترونات في عالمنا، ما تعنيه معادلة كالان-سيمانزيك هو ربط هذا التأثير الدرامي والصعب حسابه والمهم عندما تكون المسافة تقريبًا بحجم البروتون، إلى آثار أكثر دقة ولكن أسهل لحساب يمكن قياسها عندما تكون المسافة أصغر بكثير من البروتون».

المعادلة السطحية الدنيا

وقال عالم الرياضيات فرانك مورغان من كلية ويليامز: «إن المعادلة السطحية الدنيا ترمز بطريقة أو بأخرى إلى أفلام الصابون الجميلة التي تتشكل على حدود الأسلاك عندما تغطسها في ماء مع الصابون»، «إن المعادلة غير الخطية التي تنطوي على صلاحيات ومنتجات المشتقات، هي تلميح رياضي مشفر للسلوك المدهش لأفلام الصابون، على نقيض معادلات التفاضلية الجزئية الخطية الأكثر دراية، مثل معادلة الحرارة، معادلة الموجات، ومعادلة شرودنجر للفيزياء الكمومية».

خط اويلر

اختار غلين ويتني، مؤسس متحف الرياضيات في نيويورك، اختار نظرية هندسية أخرى، وهذه المعادلة له علاقة بخط اويلر، الذي سميت خلف عالم الرياضيات السويسري في القرن الثامن عشر والفيزيائي ليونارد اويلر.

وأوضح ويتني «ابدأ مع أي مثلث»، «ارسم أصغر دائرة تحتوي على المثلث واعثر على مركزها. اعثر على مركز كتلة المثلث، تلك النقطة التي إذا قطعت المثلث منها سيتوازن على راس الدبوس. ارسم الارتفاعات الثلاثة للمثلث (كل الخطوط الزاوية المتعامدة على الجانب الآخر)، واعثر على نقطة الالتقاء، والنظرية هي أن جميع النقاط الثلاث التي وجدتها للتو تقع على خط مستقيم واحد، ويدعى خط اويلر من المثلث».

وقال ويتني إن النظرية تختزل جمال وقوة الرياضيات، والتي غالبًا ما تكشف عن أنماط مدهشة في أشكال بسيطة ومألوفة.

  • ترجمة: عصام محمد النائب
  • تدقيق: رؤى درخباني
  • تحرير: زيد أبو الرب

المصدر