مجموع اللانهاية

ماذا لو قلت لكم أنّ مجموع السلسلة اللانهائية للأرقام الطبيعية 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ يساوي  – 1/12!

سرينفاسا رامانجن

سرينفاسا رامانجن

هذه المقاربة الغريبة هي نتاج لعمل عالم الرياضيات الهندي سرينفاسا رامانجن ، وللوهلة الاولى قد يبدو لنا أن هذا الإثبات الرياضي ما هو إلا خدعة رياضية، يتحايل فيها بعض هواة الرياضيات لإيجاد اللانهاية .. لكن ما هو الرياضيات؟ هل هو علمٌ مُكتَشف أم مُخترَع ؟ هذا السؤال كان دائمًا محل خلاف ونقاش منذ زمن الاغريق القدماء.

تخيل أنك مالك متجر، ما هي الأرقام التي سوف تحتاجها في تعاملاتك النقدية اليومية؟ الجواب سيكون الارقام الطبيعية، على سبيل المثال، أنت تبيع خمسة كيلوجرامات من مادة الدقيق (الطحين) وكان سعر الكيلوجرام الواحد هو دينار واحد، فعلى الزبون اعطائك 5 دنانير مقابل الخمسة كيلوجرامات من مادة الطحين .. فلن ترى طوال فترة عملك في متجرك شخص يأتي ليطلب صفر كيلوجرام من مادة معينة مقابل صفر دينار، ولن يأتي شخص ليطلب عدد لانهائي من الكيلوجرامات مقابل عدد لانهائي من الدنانير.

الرياضيات هو علم مبني على مجموعة من الافتراضات المنطقية المبرهنة، للوهلة الأولى ومن خلال دراستنا له نأخذ هذا الانطباع المتمثل بأن الرياضيات هو ذلك الخط المستقيم الذي لا يقبل الإنحراف، لكن هذا الأمر بعيد كل البعد عن ماهيه الرياضيات، فعلى سبيل المثال ما هو الجذر التربيعي للعدد -1؟ هنا يقوم علماء الرياضيات باختراع ارقام “تخيلية” ليست موجودة في العالم الفيزيائي، لكن في نهاية الأمر ستساعدنا في فهم الارقام الطبيعية بصورة اكبر. كذلك هو الحال بالنسبة للصفر واللانهاية، الصفر في العالم الفيزيائي يعني لا شيء، لكن في عالم الرياضيات هو رقم يعامل كأي رقم أخر، أما اللانهاية فهي ليست رقم، هي فكرة، يتجنبها علماء الرياضيات، وقد تكون فكرة محصورة فقط في عالم الرياضيات وعلى الأغلب لا يوجد أي شيء لانهائي في الكون الفيزيائي الذي نعيش فيه.

ملاحظة: القسمة على صفر لا تساوي اللانهائية، فلو ان قيمة 0/1 = لانهائية و 0/2 = لانهائية فهذا يعني ان 1 = 2. لذلك لا يجب ان نقوم بمعاملة فكرة اللانهاية على انها رقم.

نأتي الآن إلى إثباتنا الرياضي:

لنتفرض أنّ لدينا ثلاثة سلاسل غير نهائية:  S و S1 و S2 

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + … = ?

السلسلة اللانهائية اعلاه تمثل المجموع اللانهائي للارقام الطبيعية الموجبة

S1 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1/2

اما بالنسبة للسلسلة اعلاه اذا قمت بقطعها في اي نقطة وقمت بعميلة الجميع فستعطيك اجابتين .. أما واحد أو صفر. بما ان السلسلة غير نهائية ولا ينتج عنها الا جوابين، فسوف نقوم باخذ المعدل بين الاجابيتن وهو مجموع النتيجتين مقسمة على الرقم 2. فسوف ينتج نصف

S2 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + … 

السلسلة الثالثة

2S2 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + …
+ 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 + …
= 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1/2
S2 = 1/4
S − S2 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + …
− 1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − 7 + 8 + …
= 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + 0 + 16 + … = 4S
S – 1/4 = 4S ⇒   S = – 1/12

طريقة اخرى لايجاد نفس الناتج:

Capture

Capture

بعد تقسيم كلا الطرفين على سالب 3: ستكون النتيجة: -12/1

هذا الناتج يدخل في الكثير من حسابات نظرية الأوتار، خصوصًا في نظرية الأوتار البوزونية (البوزونات هي الجسيمات حاملة الطاقة وأما الفرميونات فهي الجسيمات حاملة المادة تقوم البوزونات بنقل القُوى بين الجسيمات) وبعض حسابات فيزياء الكم خصوصًا في تأثير كازيمير (وهي قوى فيزيائية ناتجة عن المجال المكمم “quantized field”)


ننصح بمشاهدة علماء رياضيات من جامعة نوتنغهام يشرحون هذا الاثبات الرياضي: 

 


اعداد: أحمد الريس 
تدقيق: روان ثوابتة